پنج اصل متعارفی ، یا مفهوم عمومی اقلیدس

١_چیزهایی که با یک چیز مساوی اند ، با یکدیگر نیز مساوی اند

و پنج اصل موضوع هندسی از اقلیدس

از هر نقطه میتوان خط مستقیمی به هر نقطۀ دیگر کشید

2-

هر خط مستقیم متناهی را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد

3-

میتوان دایره ای با هر نقطۀ دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم شده از مرکز آن ترسیم کرد

4-

همۀ زوایای قائمه با هم مساوی اند

5-

اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع کند به طوری که مجموع زاویای داخلی یک طرف آن کمتر از دو قائمه باشد این دو خط مستقیم اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند ، در طرفی که دو زاویه مجموعا از دو قائمه کمترند ، همدیگر را قطع خواهند کرد

عدد ۱۰به عنوان پایه ای قابل قبول برای شمردن استفاده می شود .اما طایفه ی«گل»درفرانسه یباستان قبیله ی «مایا»در آمریکای مرکزی ومردم دیگر از عدد ۲۰ به عنوان پایه برای شمارش استفاده می کردند.

سومری ها،بابلی ها و افراد بعد از آن ها از پایه ی ۶۰ استفاده می کردند.به این علت که عدد ۶۰ می تواند به۲ ،۳،،۲۰،۱۵،۱۲،۱۰،۶،۵،۴و۳۰تقسیم شود.عدد ۶۰  درتقسیم بندی ساعات به دقایق وثانیه ها ،نیز در تقسیم بندی دایره به ۳۶۰درجه باقی مانده است.

کدام سنگین تر است؟

یک کیلو گرم نیم سکه ی طلا یا نیم کیلو گرم سکه ی طلا؟

حل مساله :یک کیلو گرم یک فلز از نیم کیلو گرم آن وزن بیشتری دارد.

درساعت ۶ساعت دیواری ۶ ضربه زد.من با ساعت خودم امتحان کردم و دیدم که از اولین تا ششمین ضربه درست ۳۰ ثانیه طول کشید.حالا اگر برای ۶ ضربه ۳۰ ثانیه وقت لازم باشدبرای ۱۲ ضربه ای که ساعت در ظهر یا نیمه شب می زند چقدر وقت لازم است؟

حل مساله:برای ۶ضربه ۳۰ثانیه وقت لازم است بنابراین برای ۱۲ضربه ۶۰ثانیه وقت باید صرف  کنیم این جوابی است که اغلب به این پرسش می دهند که البته نادرست است .وقتی ساعت ۶ضربه می زند بین این ضربه ها ۵  فاصله قرار دارد.یعنی هر فاصله ۳۰تقسیم بر ۵ یعنی ۶ثانیه است .از طرف دیگر بین ضربه ی اول و دوازدهم یازده فاصله وجود دارد بنابر این برای۱۱فاصله ۱۱ضربدر ۶ یعنی ۶۶ثانیه باید صبر کرد.

به نوشته روزنامه الرایه این مسئله «فرضیه ریمن» نام دارد که در سال 1859 توسط دانشمندی به نام برنهارد ریمن طرح شده و هم اکنون بیش از 150 سال از طرح این مسئله می گذرد. 

پیتر سارناک، استاد ریاضی دانشگاه پرینستون در این باره گفت: بسیاری از دانشمندان تاکنون برای حل فرضیه ریمن ناموفق بوده اند

نیشتین در قرن نوزدهم مسئله ای را طراحی کرد که به گفته وی تنها 2 درصد از مردم دنیا قادر به حل آن می باشند. البته نظر شخصی من این است که اکنون کسانی که قادر به حل این مسئله اند بیشتر از 2% مردم دنیا را شامل میشوند و دلیلش هم این است که توانایی حل مسئله تا حدود زیادی اکتسابی است و همه آن متناسب با هوش افراد نیست.

این مسئله در بسیاری از سایت ها و وبلاگ ها موجود است ولی هیچ کدام راه حل تشریحی و مرحله به مرحله برای کسانی که نتوانسته اند مسئله را حل کنند ارائه نکرده اند. اینگونه شد که تصمیم گرفتم این مطلب را بنویسم

در خیابانی 5 خانه درپنج رنگ متفاوت وجود دارد.
در هر یک از این خانه ها یک نفر با ملیتی متفاوت از دیگران زندگی می کند.
این پنج صاحب خانه هر کدام نوشیدنی متفاوت می نوشند. سیگار متفاوت می کشند و حیوان متفاوتی نگه داری می کنند.

سوال: کدام یک از آنها در خانه ماهی نگه میدارد؟

اطلاعات مورد نیاز برای حل مسئله + حل تشریحی در ادامه مطلب موجود است

برای حل این سوال به این اطلاعات نیاز دارید:

1- مرد انگلیسی در خانه قرمز زندگی می کند.
2- مرد سوئدی یک سگ دارد.
3- مرد دانمارکی چای می نوشد.
4- خانه سبز رنگ در سمت چپ خانه سفید قرار دارد.
5- صاحب خانه سبز قهوه می نوشد.
6- شخصی که سیگار Pall Mall می کشد پرنده پرورش می دهد.
7- صاحب خانه زرد سیگار Dunhill می کشد.
8- مردی که در خانه وسطی زندگی می کند شیر می نوشد.
9- مرد نروژی در اولین خانه زندگی می کند.
10- مردی که سیگار Blends می کشد در کنار خانه مردی که گربه نگه می دارد زندگی می کند.
11- مردی که اسب نگهداری می کند کنار مردی که سیگار Dunhill می کشد زندگی می کند.
12- مردی که سیگار Blue Master می کشد آبجو می نوشد.
13- مرد آلمانی سیگار Prince می کشد.
14- مرد نروژی کنار خانه آبی زندگی می کند.
15- مردی که سیگار Blends می کشد همسایه ای دارد که آب می نوشد.

برای حل ساده تر این مسئله برای آن جدول رسم میکنیم و آن را طبق اطلاعات داده شده و اطلاعاتی که در هر مرحله بدست می آوریم پر میکنیم تا به جواب برسیم

طبق شماره 8 شخصی که در خانه وسطی زندگی میکند شیر مینوشد. همچنین طبق شماره 9 مرد نروژی در خانه اول زندگی میکند.

طبق اطلاعات شماره 14 مرد نروژی کنار خانه آبی زندگی میکند. میدانیم که او در خانه شماره 1 زندگی میکند. تنها خانه ای که کنار خانه اوست خانه شماره 2 است. پس خانه دومی آبی رنگ است. حالا جدول خود را با این اطلاعات پر میکنیم:

طبق شماره 4 خانه سبز در سمت چپ خانه سفید قرار دارد. خانه شماره 1 نمیتواند سبز باشد چون باید باید در سمت چپ خانه سفید قرار داشته باشد ولی خانه شماره 2 آبی است. همچنین نمیتواند شماره 5 باشد چون در سمت راستش خانه ای وجود ندارد چه برسد به اینکه سفید هم باشد. پس یکی از خانه های شماره 3 یا 4 سبز است.

طبق مورد 5 اطلاعات مسئله، صاحب خانه سبز قهوه مینوشد. میدانیم که صاحب خانه 3 شیر مینوشد پس تنها گزینه ی باقی مانده برای خانه سبز رنگ، خانه ی شماره 4 می باشد

پس متوجه شدیم که خانه شماره 4 سبز است و صاحبش قهوه مینوشد. همچنین این خانه در سمت چپ خانه سفید قرار دارد پس خانه شماره 5 سفید است. در جدول وارد میکنیم:

از بین رنگ ها زرد و قرمز باقی می مانند و خانه هایی که رنگشان مشخص نیست شماره 1 و 3 می باشند. طبق شماره 1 مرد انگلیسی در خانه قرمز زندگی میکند پس خانه شماره 1 نمیتواند قرمز باشد چون میدانیم که صاحبش نروژی است نه انگلیسی. نتیجه میگیریم که خانه شماره 1 زرد و خانه شماره 3 قرمز است. و صاحب خانه 3 انگلیسی است.

شماره 7 به ما میگوید که صاحب خانه زرد سیگار Dunhill میکشد یعنی صاحب خانه شماره 1.

شماره 11 به ما میگوید که همسایه کسی که سیگار Dunhill میکشد اسب دارد. تنها همسایه خانه شماره 1 خانه شماره 2 است. حالا با این اطلاعات، جدول به این صورت پر میشود:

از نوشیدنی ها آب، چای و آبجو باقی می ماند. طبق شماره 3 مرد دانمارکی چای مینوشد پس نوشیدنی مورد علاقه مرد نروژی چای نیست و میتواند آب یا آبجو باشد. طبق 12 میدانیم که مردی که سیگار Blue Master میکشد آبجو مینوشد. مرد دانمارکی از این سیگار استفاده نمیکند پس آبجو نمی نوشد. تنها نوشیدنی باقیمانده برای او آب است.

طبق 15 همسایه مردی که از سیگار Blends استفاده میکند آب مینوشد. تنها همسایه مردی که آب مینوشد(نروژی)، خانه شماره 2 است. پس سیگار مورد علاقه صاحب خانه 2 Blends است

اطلاعات جدیدی که بدست آوردیم را در جدول وارد میکنیم:

طبق 10 همسایه مردی که سیگار Blends میکشد گربه دارد. پس یکی از خانه های 1 یا 3 باید پذیرای یک گربه باشد.

غیر از گربه، سگ و پرنده هم باقی مانده اند. طبق 2 مرد سوئدی سگ نگه میدارد. پس گزینه های باقی مانده برای مرد نروژی پرنده و گربه است.طبق 6 شخصی که سیگار pall mall مصرف میکند پرنده نگه میدارد. پس مرد نروژی که سیگار Dunhill میکشد طبق اطلاعات مسئله نمیتواند پرنده داشته باشد. تنها گزینه برای او نگه داری از گربه است.

حال میخواهیم هویت صاحب خانه دوم را مشخص کنیم. طبق 2 مرد سوئدی سگ دارد ولی در خانه 2 از اسب نگه داری میشود پس صاحبش نمیتواند سوئدی باشد

مرد آلمانی سیگار prince میکشد. ولی صاحب خانه دوم از سیگار Blends استفاده میکند. پس چاره ای ندارد جز اینکه دانمارکی باشد.

طبق 3 مرد دانمارکی چای مینوشد.

جدول در حال تکمیل شدن است:

طبق 12 کسی که سیگار Blue Master میکشد آبجو مینوشد. نوشیدنی همه مشخص شده به جز آخری. پس او آبجو مینوشد و سیگار Blue Master استعمال میکند.

طبق 13 سیگار مورد علاقه مرد آلمانی prince است. سیگار مورد علاقه خانه های 3 و 4 مشخص نیست. خانه ی سوم متعلق به مرد انگلیسی است پس سیگارش چیزی غیر از prince یعنی pall mall است. خانه چهارم هم متعلق به آلمانی و سیگارش هم prince است.

تنها ملیت باقی مانده سوئدی است که به خانه شماره 5 میرسد.

طبق 2 مرد سوئدی سگ دارد

طبق 6 مردی که سیگار pall mall میکشد یعنی خانه 3 پرنده پرورش میدهد.

جدول را کامل میکنیم:

تمام خانه های جدول پر شد به جز یکی. نمیدانیم آلمانی از چه حیوان خانگی نگهداری میکند. در اطلاعات مسئله هم هیچ گزینه ای باقی نمانده که از آن استفاده نکرده باشیم. نگاهی به صورت سوال می اندازیم. نوشته شده چه کسی ماهی نگهداری میکند. پس در جای خالی باید ماهی را وارد کنیم. شخصی که این همه ما را به فکر وا داشت شناسایی شد. همین آلمانی بود. آره، خود خودش بود.

طراحی مسئله به مراتب از حل آن پیچیده تر و سخت تر است. بی خود نیست که انیشتین، انیشتین شده

موفق باشید

بعضی ها abdali.loxblog.comکه مثلا دوستت این سایت رو مسخره می کنند حسودند  شما ببیند که کدام یک از مطالبم عنوان ندار!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

چند تا رسم برای شما کسانی که دوستدار کشیدن رسم هستید.

جذر: (square root)

جذر به معنی ریشه ، پایه است و علامت آن «     » رادیکال می باشد.

در ریا ضیات « ریشه گرفتن » عکس عمل « به توان رساندن » می باشد.

جذر حسابی: هر عدد مثبت دو جذر دارد که یکی مثبت است و دیگری منفی 0 جذر مثبت «جذر حسابی » نامیده می شود.

عدد 5 جذر حسابی عدد 25  است و آنرا با نمایش می دهیم .« » فقط برای نمایش جذر مثبت 25 بکار می رود بنابراین می توان نوشت:

نکته: توان دوم یک عدد را مجذور یا مربع آن عدد می نامند.

محاسبه جذر :

در شکل زیر مجذور عدد 5 و 6 نمایش داده شده است با توجه به شکل می توان  گفت:

مربعی به مساحت 31 سانتی متر مربع را در نظر بگیرید می خواهیم اندازه ی ضلع مربع را بدست آوریم.

حل : با توجه به اینکه  25 = 5²  و 36 = 6²  می توان گفت : عدد 31 بین دو مجذور 25 و 36 قرار دارد.

یعنی جذر عدد 31 دقیق نمی باشد و مقدار تقریبی است.

برای بدست آوردن مقدار تقریبی جذر عدد 31 کافی است قسمت های باقی مانده را کنار بگذاریم.

با صرف نظر کردن از مربع کوچک ایجاد شده می توان نوشت: 10 = 5 × 2 = طول مستطیل ( رنگ شده )

6 = 25 – 31 =  مساحت مستطیل (رنگ شده) 

بنابراین اندازه ی ضلع مربع که مساحت آن 31 سانتی متر مربع باشد ، تقریباً برابر است با 6/5.

به عبارت دیگر برای محاسبه ی جذر تقریبی عدد 31 می توان به ترتیب زیر عمل کرد:  

 برای محاسبه ی مقدار تقریبی عدد 31 ، باقیمانده ی جذر را بر دو برابر حاصل جذر تقسیم می کنیم.

مثلث: (triangle)

مثلث یعنی سه گوشه ، هر سطح سه گوشه ، سه کرده شده

در ریاضی

اگر سه نقطه  غیر واقع بر یک خط راست را دو به دو به هم وصل کنیم شکلی بدست می آید که آن را مثلث   می گویند

 اجزای اصلی مثلث

سه نقطه C , B , A  را رأس های مثلث و سه ضلعی BC, AC , AB  را اضلاع مثلث می گویند .

سه ضلع و سه زاویه از اجزای اصلی مثلث می باشند

اجزای فرعی مثلث :

ارتفاع : پاره خطی که از رأس مثلث به ضلع مقابل آن عمود شود .

نیم ساز : پاره خطی که زاویه مثلث را نصف کند و به ضلع مقابل آن محدود باشد .

میانه : پاره خطی که رأس مثلث را به وسط ضلع مقابل آن وصل  کند

عمود منصف : عمود منصف هر ضلع مثلث خطی  است که از وسط آن بگذرد و بر آن عمود باشد .

انواع مثلت :

مثلث متساوی الساقین: مثلثی که دو ضلع آن مساوی باشند . این دو ضلع مساوی را ساق و محل برخورد دو ساق را راس مثلث متساوی الساقین می نامند . ضلع سوم قاعده نام دارد .

 مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی که سه ضلع آن مساوی باشند .

مثلث قائم الزاویه: مثلثی که یک زاویه آن قائمه باشد .

ضلع مقابل به زاویه قائمه را وتر گویند .

BC  وتر مثلث قائم الزاویه ABC  است.

حالت های تساوی دو مثلث: دو مثلث در حالت های زیر با هم برابرند :

حالت اول: دو ضلع و زاویه بین آن ها از یک مثلث با دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلث دیگر نظیر نظیر مساوی باشند

حالت دوم:دو زاویه و ضلع بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر نظیر نظیر مساوی باشند .

حالت سوم: سه ضلع از یک مثلث با سه  ضلع متناظر از مثلث دیگر مساوی باشند

علاوه بر سه حالت تساوی مثلث ها که در سال اول راهنمایی گفته شده است ، می توان تساوی دو مثلث قائم الزاویه را در دو حالت دیگر نیز بررسی کرد .

1- وتر و یک زاویه تند (حاده):

اگر وتر یک زاویه تند (حاده) از مثلث قائم الزاویه ای با وتر یک زاویه ی تند (حاده) از مثلث قائم الزاویه دیگری مساوی باشند ، آن دو مثلث مساوی اند .

دو مثلث قائم الزاویه یABC  و´A´B´C را با توجه به اینکه  می باشد را در نظر بگیرید .

از راه انطباق می توان مساوی بودن این دو مثلث را بررسی کرد .

اگر مثلث´A´B´C را طوری رویABC  قرار دهیم که زاویه ی ´B بر زاویه ی B و وتر ´B´C بر وتر BC منطبق شود، مشاهده می کنیم که دو مثلث بر هم منطبق می شوند .

2- وتر و یک ضلع:

اگر وتر و یک ضلع مثلث قائم الزاویه ای با وتر و یک ضلع مثلث قائم الزاویه دیگری مساوی باشند ، آن دو مثلث قائم الزاویه با هم مساویند .

دو مثلث قائم الزاویه ی ABC و´A´B´C را با توجه به اینکه می باشد را در نظر بگیرید:

با توجه به اینکه نقطه C  روی عمود CA  قرار دارد و از دو سر پاره خط ´BB به یک فاصله است . می توان گفتC یک نقطه از عمود منصف پاره خط ´BB است بنابراین CA عمود منصف پاره خط ´BB می باشد و می توان نوشت:

 ´BA = AB

می دانیم : اگر دو مثلث دارای سه ضلع مساوی باشند با هم مساویند به این ترتیب می توان نوشت :  

مجموع زاویه های هر مثلث 180 درجه است .

زاویه ی خارجی مثلث :

اگر یکی از ضلع های مثلثی را امتداد دهیم ، امتداد این ضلع با ضلع دیگر مثلث زاویه ای را تشکیل می دهد که آن را زاویه خارجی مثلث می نامیم.

مثال Å در شکل مقابل BÂX یک زاویه ی خارجی از مثلث ABC است

به طورکلی : در هر مثلث یک زاویه ی خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن مساوی است .

زاویه های مجاور :

مجاور به معنی همسایه است و در هندسه دو زاویه مجاور گویند هر گاه در همسایگی هم  یک ضلع مشترک داشته باشند همچنین دو زاویه را غیرمجاور نامیم هر گاه مجاور هم نباشند .

 A۱و A۲ مجاور یکدیگرند.

 A۱با B و C غیر مجاور هستند.

1-  در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه ی 30 درجه اندازه وتر است مثالÅ  در شکل زیر اندازه ضلع AB را بدست آورید .   2- در مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است.   مثال:                   چهار ضلعی ABDC  مستطیل است     3-در مثلث قائم الزاویه  اگر یک زاویه آن 15 درجه باشد ، ارتفاع وارد بر وتراست .   4- در مثلث   قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45 در جه اندازه وتر است .   5-در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 60درجه اندازه وتر است .   6-در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر است   7- در مثلث قائم الزاویه مربع ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب دو قطعه ایجاد شده روی وتر .   مثال Å با توجه به شکل مقابل اندازه ارتفاع AH  را بدست آورید . حل:                    8- مساحت هر مثلث با داشتن اندازه ی سه ضلع از دستور بدست می آید (a, b, c اضلاع مثلث و P  نصف محیط مثلث می باشد) مثال Å مساحت مثلث ABC  را بدست آورید.

خطوط موازی

 دو خط واقع بر یک صفحه را موازی می گوییم هر گاه آن دو خط بر هم منطبق باشند و یا هیچ نقطه ی مشترکی نداشته باشند .مانند دو خط₁ d و ₂ d که با هم موازیند.

می نویسیم:

میخوانیم: خط های ₁ d و ₂ d با هم موازیند.

توضیح تصویری:

چهار ضلعی ها:

هر چهار ضلعی دارای چهار ضلع و چهار رأس می باشد.

دو ضلع چهار ضلعی که در یک رأس  مشترک باشند دو ضلع مجاور نام دارد.

دو ضلع که نقطه مشترک ندارند ، دو ضلع مقابل نام دارد.

انواع چهار ضلعی ها :

1) متوازی الاضلاع: چهار ضلعی است که اضلاع آن دو بدو موازی باشند 

خواص متوازی الاضلاع :  در هر متوازی الاضلاع زاویه های مجاور مکمل اند  و زاویه های مجاور مقابل مساویند .

در هر متوازی الاضلاع ضلع های  مقابل با هم برابرند.

در هر متوازی  الاضلاع قطر ها یکدیگر را نصف می کنند.

2) مستطیل: چهار ضلعی که تمام زاویه های آن قائمه باشد به عبارت دیگر مستطیل متوازی الاضلا عی است که یک زاویه ی قائمه داشته باشد .

خواص  مستطیل: چون مستطیل نوعی متوازی الاضلاع است پس تمام خواص متوازی الاضلاع را داراست .

قطر های مستطیل با هم برابرند.

3) لوزی : چهار ضلعی که چهار ضلع آن مساوی باشند لوزی است .

خواص لوزی:  چون لوزی نوعی متوازی الاضلاع است پس همه ی  خواص متوازی الاضلا ع را داراست .

قطرهای لوزی بر هم عمودند

هر قطر لوزی نیمساز دو زاویه ی مقابل لوزی است .

4) مربع : چهار ضلعی است که چهار ضلع آن مساوی و چهار زاویه ی آن قائمه هستند .

بنابراین مربع هم نوعی لوزی، هم نوعی مستطیل و در نتیجه نوعی متوازی الاضلاع است. پس تمام خواص آن ها را داراست

ذوزنقه : چهار ضلعی است که فقط  دو ضلع آن با هم موازی باشند .

در ذوزنقه دو ضلع موازی را قاعده و دو ضلع غیر موازی را ساق های ذوزنقه می گویند  

خواص ذوزنقه: در ذوزنقه  زاویه های مجاور به هر ساق  مکمل یکدیگرند

انواع ذوزنقه :

 ذوزنقه قائم الزاویه :  ذوزنقه ای است که یک ساق آن بر دو قاعده عمود شده باشد 

ذوزنقه متساوی الساقین : ذوزنقه ای است که دو ساق آن با هم برابر باشد .

1- مجموع  زاویه های داخلی هر چهار ضلعی 360 است

A+B+C+D=۳۶۰

2-  مجموع زاویه های خارجی هر n  ضلعی 360 است .

3-  هر گاه از رئوس یک چهار ضلعی چهار خط به موازات قطرها آن رسم کنیم متوازی الاضلا عی بدست می آید که مساحت آن دو برابر مساحت چهار ضلعی اولیه می باشد .

4- مجموع زوایای داخلی هر n  ضلعی از دستور 180×( 2 n -)  بدست می آید  (n ضلعی محدب)

مثال Å  مجموع زوایای داخلی یک هشت ضلعی را بدست آورید .

  1080 = 180×6= 180×(2-8)

  5- اگز خطی دو خط موازی را قطع کند 8 زاویه به وجود می آید : که کلیه ی زاویه های تند باهم و کلیه ی زاویه ها ی باز با هم مساویند .

جبر : (Algebra)

مساحت: (area)

مساحت به معنی اندازه گرفتن زمین، پیمایش زمین، سطح محوطه و زمینی و سطح به معنی رویه، بالای هر چیز که هموار و پهن باشد؛ در اصطلاح هندسه اندازه ی سطح هر شکل هندسی را مساحت می نامیم.  

مساحت شکلهای هندسی:

1) مساحت مربع

3) مساحت متوازی الاضلاع

4) مثلث

6) ذوزنقه

7) دایره

مساحت دایره

اگز یک دایره را به وسیله ی قطرهای آن به 6 قسمت مساوی تقسیم کنیم و با توجه به شکل زیر آنرا ببریم و کنار هم قرار دهیم، مساحت شکل حاصل با مساحت دایره برابر است.

اگر دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم کنیم و قسمتها را کنار هم قرار دهیم شکل زیر بدست می آید.  

اگر دایره ای را به 24 قسمت مساوی تقسیم کنیم و قسمتها را کنار هم قرار دهیم شکل زیر بدست می آید.  

 چنانکه مشاهده می کنید هر قدر تعداد قسمتها زیاد می شود شکل حاصل از کنار هم قرار دادن این قسمتها به یک مستطیل نزدیکتر می شود که مساحت آن با مساحت دایره برابر است. طول این مستطیل با نصف محیط دایره و عرض  آن با شعاع دایره برابر است. پس،

شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره

اندازه شعاع را باr  ، عدد 14/3 را با p و مساحت دایره را با A نشان دهیم.

بنابراین، مساحت دایره برابر است با حاصلضرب عدد p در مجذور شعاع

تقارن : (symmetry)

تقارن به معنی قرین شدن با یکدیگر، با هم یار و دوست گردیدن می باشد و در اصطلاح هندسه وجود تقارن نشان دهنده ی وجود قرینه شدن نسبت به یک نقطه یا نسبت به یک خط (محور) می باشد.  

 تقارن محوری: (axial symmetry)

چنانچه قرینه نسبت به یک خط وجود داشته باشد، تقارن را تقارن محوری نامند و خطی که شکل را به دو قسمت قرینه تقسیم می کند، «محور تقارن»  آن شکل نامیده        می شود.

تقارن محوری

تقارن مرکزی: (central symmetry)

چنانچه قرینه نسبت به یک نقطه وجود داشته باشد، تقارن را تقارن مرکزی نامند و آن نقطه که قرینه ی هر نقطه از شکل نسبت به آن، نقطه ای ازخود شکل است را «مرکز تقارن» می گوییم.  

تقارن مرکزی 

کاربرد تقارن:

1- تقارن نه فقط به عنوان یک مفهوم جالب و شگفت انگیز هندسی مورد توجه است ، بلکه وجود تقارن در ساختمان ملکولهای اجسام و بلورهای آن باعث می شود که دانشمندان بتوانند خواص این اجسام را به طور دقیق بررسی می کنند، اگر با کمی دقت به اطراف خود، به گیاهان، اجسام و موجودات نگاه کنیم متوجه خواهیم شد که شکل بیشتر آن ها متقارن است و همین متقارن بودن زیبایی خاصی به آن ها بخشیده است. وجود تقارن در ساختمان بدن انسان نیز یکی از عامل های اساسی زیبایی است.  

2- هر قطر دایره یک محور تقارن برای دایره است. بنابراین دایره متقارن ترین شکل هاست. به همین دلیل افلاطون فیلسوف بزرگ یونانی دایره را زیباترین شکل مسطحه می نامد اشکالی که قابل قسمت به بخش های برابر قابل انطباق نباشند، نامتقارن نامیده می شوند. 

حجم : (volume)

حجم به معنی برآمدگی  و ستبری و جسامت چیزی است و در اصطلاح هندسه گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقدار از فضا که جسم آنرا اشغال می کند ، می باشد.

 محاسبه ی حجم اجسام :

حجم مکعبی به ضلع یک سانتیمتر یک سانتیمتر مکعب است.

دستور محاسبه ی حجم :

حجم هر یک از اجسام هندسی برابر است با: حاصلضرب مساحت قاعده آن در ارتفاع آن.

مثال Åحجم شکل مقابل را حساب کنید.

حل :                                                                 مساحت مربع – مساحت مستطیل = مساحت قاعده

                                                                           5 = (1 × 1) – (3 × 2) =

(cm^۳)  (سانتیمتر مکعب)   50=  10×5   =  ارتفاع  × مساحت قاعده  = حجم

منشور: (prism)

 منشور به معنی پراکنده، نشر شده، زنده شده، مبعوث است.

در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه ی منشور        (سطح جانبی منشور) از مستطیل ها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.

1- حجم مکعبی به ضلع a  برابر است با a³ .

2- مساحت جانبی مکعبی به ضلع a  برابر است با 4a²

3-  مساحت کل مکعبی به ضلع a  برابر است با  6a²

4- اگر ضلع مکعبی را m  برابر کنیم حجم آن ³ m برابر و مساحت جانبی و مساحت کل آن ² m  برابر   می شود.

مثالÅ حجم مکعبی به ضلع a  برابرa³ است . اگر ضلع مکعب را 4  برابر کنیم حجم و مساحت جانبی آن چند برابر می شوند؟

 حل:

5 – حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع

6- مساحت جانبی منشور برابر است با محیط قاعده در ارتفاع

7- مساحت کل منشور برابر است با مساحت جانبی به اضافه ی مساحت دو قاعده

مثال Å قاعده ی یک منشور سه پهلو مثلث قائم الزاویه است. که ضلعهای آن 3 و 4 و 5 سانتیمتر است.

اگر ارتفاع منشور  10cm باشد ، حجم ، مساحت جانبی و مساحت کل منشور را حساب کنید؟

 حل:

دستگاه مختصات

دو محور عمود بر هم که در یک صفحه قرار دارند ، یک دستگاه مختصات به وجود می آورند.

محور افقی را محور طول، محور عمودی را محور عرض و محل برخورد دو محور را مبدأ مختصات می نامند.

صفحه ی حاصل از دو محور مختصات را صفحه ی مختصات می گوییم.

از آن جا که دو محور مختصات بر هم عمود هستند آنرا دستگاه مختصات قائم یا دکارتی ( منسوب به دکارت )  می نامند.

انتقال: (translation )

انتقال به معنی جابه جا شدن، از جایی به جای دیگر رفتن، نقل کردن، کوچیدن، کوچ کردن و مردن و در گذشتن می باشد.

در ریاضی انتقال یعنی تغییر مکان، اندازه و جهت مشخص. برداری که شکل را در مسیر مشخص انتقال می دهد، بردار انتقال می نامند.

1 -  هر برداری که موازی محور طول باشد ، عرض آن صفر است .

2 – هر برداری که موازی محور عرض باشد ، طول آن صفر است .

3 – قرینه نقطه ی  نسبت به محور طول نقطه ی است .

4 - قرینه نقطه ی  نسبت به محور عرض نقطه ی است .

5 -قرینه نقطه ی نسبت به مبدأ مختصات  نقطه ی است .

6 - قرینه نقطه ینسبت به نیمساز ناحیه ی اول و سوم  نقطه یاست .

7 - قرینه نقطه ی نسبت به نیمساز ناحیه ی دوم و چهارم  نقطه ی است . 

.:: جذر ::.

جذر (root):

جذر به معنی ریشه ، بن و پایه است. در ریاضیات جذر گرفتن عکس عمل به توان رساندن می باشد.

عددهایی مانند 49 , 16 , 4 , ... را که جذر دقیق دارند ، مجذور یا مربع کامل می نامند.

مسئله های مربوط به آمار:

نمرات مهدی در چند درس به صورت زیر است.میانگین آن ها را حساب کنید.

علوم:5/18     زبان:25/19     ریاضی:75/17           عربی:25/16               تاریخ:

20

3- میانگین نمرات دانش آموزی در 3 درس 5/17 شده است.اگر نمره دو درس او 5/18 و 19 شده باشد.نمره درس سوم را بدست آورید؟

دو کارگر داریم که نفر اول ٪ ۲۵ ورزیده تر از دومی است . اگر پس از ۱۰ روز کار نفر اولی به مرخصی برود دومی بقیه کار را در ۵/۱۱۲روز انجام می دهد. اگر نفر اول به مرخصی نرود و کل کار را دو نفری انجام دهند . بقیه کار چند روز زودتر انجام می شود؟

  مسائل مربوط به تخفیف و تناسب

1-برای خریدن یک کتاب 200 تومانی دو تخفیف متوالی %20 و %10 گرفتیم.حساب کنید چقدر باید بپردازیم؟

2-برای خریدن یک کتاب 2000 تومانی دو تخفیف متوالی %20 و %10 گرفتیم.حساب کنید چقدر باید بپر دازیم؟

3-قیمت کالایی با%10 سود 4400 تومان می باشد.اگر در فروش این کالا %15 ضرر کنیم به چه قیمتی باید بفروشیم؟

4-رضا و محسن کاری را با هم در 12 ساعت انجام می دهند،اگر محسن این کار را به تنهایی در 18 ساعت انجام دهد حساب کنید رضا به تنهایی این کار را در چند ساعت انجام می دهد؟

قرینه یک عدد صحیح:

برای بدست آوردن قرینه یک عدد کافیست که علامت ان را عوض کنیم.قرینه را با علامت (-) نشان می دهند.

نکته:قرینه قرینه ی یک عدد خود آن عدد می شود.

مثال:

حاصل عبارت های زیر را به دست آورید؟

=(12+)+                                                                                  =(5+)_

=(11-)-                                                                                    =((7-)-)-

=(((((6-)-)-)-)-)- 

روش حل مسئله:(جمع)

اگر در یک مسئله با کلمه های گرمتر یا سردتر عددی همراه باشد،برای مسئله یک جمع می نویسیم.مثال:

دمای هوای تهران 8+ و دمای هوای زنجان 19 درجه سردتر است.حساب کنید زنجان چه دمایی دارد؟

جواب در پاسخ سوال

چرا مرکز دایره بر روی عمود منصف یک وتر رسم شده است؟

جواب در ادامه مطلب

2- با رسم شکل ثابت کنید هر نقطه بر روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر آن پاره خط به یک فاصله است؟

حاصل تقسیم های زیر را به دست آورید؟

                                                   =92 ÷ 200 /12009                                                                   =2/1 ÷  006/0                                                                                                                                                                                  

بخش پذیری بر اعداد مرکّب:

تساوی مثلث ها:

برای آن که دو مثلث مساوی شوند باید همه اضلاع با هم و همه زاویه هایشان با هم مساوی باشند ولی اگر بتوانیم ثابت کنیم یکی از حالت های رسم مثلث در دو مثلث را ثابت کنیم، می توانیم برابری آن دو مثلث را نتیجه بگیریم.

نکته مهّم:

با استفاده از عبارت های زیر می توانیم نتیجه بگیریم که دو ضلع با هم مساوی اند.

1- دو ساق مثلث متساوی السّاقین

2- ضلع های مربع

3- طول و عرض مستطیل

4- مثلث متساوی الاضلاع

5- نقطه وسط یک پاره خط، دو پاره خط مساوی به وجود می آورد.

6- ضلع مشترک

7- شعاع های دایره

نکته مهّم:

با استفاده از عبارت های زیر می توانیم نتیجه بگیریم که دو زاویه با هم برابرند.

1- نیمساز

2- دو زاویه متقابل به راس

3- زاویه های زیر دو ساق

4- زاویه های مثلث متساوی الاضلهع

5- علامت قائمه

6- دو زاویه مشترک

نکته:

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

۱-اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

۲- اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سیوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویویی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویویی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گایوس فرستاد. بعد معلوم شد که گایوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال ۱۸۲۹ کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بویی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویویی و لباچفسکی ثبت گردید.

۳- هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.

یک - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویویی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزیی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارایه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژیودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

۴- انحنای سطح یا انحنای گایوسی

اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=۱/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.
برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k۱=۱/R۱ and k۲=۱/R۲
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=۱/R۱R۲
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :
k>o
در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

5- مفهوم و درک شهودی انحنای فضا

سیوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟

پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سیوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.

ببخشید که من چندروز خبرم نبود من دراردوی مدرسه بودم وبه انترنت دسرسی نداشتم واز امروز با مطالب بیشتر این وبلاگ رابروز خواهم

  وبلاگ من در باره ی تست هوش                                                             testhosh159147.LoxBlog.Com

 وبلاگ من درباره ی علوم اجتماعی                                                               oloomhtmie.loxblog.com

وبلاگ من در باره ی اطلاعات عمومی                                                     alikhani-mahdi.loxblog.com 

وبلاگ من در باره ی علوم                                                                       oloom159147.loxblog.com     

من برای شما دوره ی کتاب را هر هفته برای موفقییت شما در امتحانات خرداددر این سایت میگذارم. پس به ادامه ی مطالب سر بزن.

ابوالوفا بوزجاني،يكي از بزرگترين رياضي دانان و منجمان دوره ي اسلامي،در سال 328 هجري قمري در بوزجان (تربت جام خراسان)متولد شد.كتابي كه او در علم حساب نوشته است،نخستين بار مورد توجه دانشمندان اروپايي قرار گرفت.

بوزجاني در اين كتاب براي حل معادله ها از اعداد صحيح استفاده كرده است.به نظر يكي از دانشمندان به نام يوشكويچ،او نخستين رياضي دان مسلمان است كه اعداد منفي را به كار برده است.بوزجاني همچنين در زمينه ي هندسه و ترسيمات هندسي و نيز علم مثلثات روشهاي تازه اي براي حل مسايل ابداع كرده و موجب پيشرفت اين علوم شده است.

به پاس خدمات بوزجاني به رياضيات و نجوم،يكي از دهانه هاي ماه را به نام وي نام گذاري كرده اند.

 نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلال‌های جدید و متهورانهٔ خود را منتشر کرد، اهمیت آن‌ها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه بعدها، تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تأثیری عمیق بر گسترش آن‌ها داشت. به‌طوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریهٔ مجموعه‌ها تعریف کنند. به عنوان مثال می‌توان به تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظام‌های ریاضی، از قبیلتوپولوژی، اساساً به ابزار نظریهٔ مجموعه‌ها وابسته‌است. از این‌ها مهم‌تر، نظریهٔ مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داده‌است که به تمام شاخه‌های ریاضیات، وضوح و دقتی تازه بخشیده‌است.

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌ها آشنا شویم می‌توانیم آن‌ها را به سه صورت مورد مطالعه قرار دهیم: مطالعهٔ مجموعه‌ها در حد آشنایی عمومی، که برای مطالعهٔ علوم پایه لازم است؛ مطالعهٔ مجموعه‌ها به روش طبیعی و مطالعهٔ مجموعه‌ها به روش بنداشتی. در نظریهٔ مجموعه‌ها دو واژهٔ طبیعی و بنداشتی دو واژهٔ متضاد هم هستند.

 ریاضیات گسسته که به آن «ریاضیات محدود» یا «ریاضیات تصمیم» نیز می‌گویند، به بخش‌هائی از ریاضیات گفته می‌شود که با ساختارهای گسسته (یعنی ساختارهایی که در آن‌ها مفهوم پیوستگی وجود ندارد) سر و کار دارد. بیش تر مواردی که در ریاضیات گسسته مورد بررسی قرار می‌گیرند مجموعه‌های شمارش پذیر هستند. مانند اعداد صحیح و گراف‌های محدود و زبان‌های رسمی.

ریاضیات گسسته به‌دلیل کاربردهای زیاد در علوم رایانه در دهه‌های گذشته کاربرد زیاد یافته‌است. مفاهیم و نشانه‌های ریاضیات گسسته برای مطالعهالگوریتم‌های رایانه و زبان‌های برنامه نویسی مورد استفاده قرار گرفته‌است. در بعضی دانشگاه‌ها ریاضیات محدود به مفاهیمی از ریاضیات گسسته اطلاق می‌شود که در تجارت کاربرد داشته‌اند. ولی ریاضیات گسسته به مباحث تخصصی علوم رایانه می‌پردازد.

 علم ریاضی را معمولاً دانش بررسی کمیت‌‌ها و ساختار‌ها و فضا و دگرگونی (تغییر) تعریف می‌کنند. ریاضیات خود یکی از علوم ‌طبیعی به‌شمار نمی‌رود، ولی ساختارهای ویژه‌ای که ریاضیدانان می‌پژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می‌گیرند.

 مساله گاوهای نیوتن:

۳ گاو به مدت ۲ هفته علفهای ۲ چمنزار و هر انچه در این مدت در آن میروید رامیچرند.
۲ گاو به مدت ۴ هفته علفهای ۲ چمنزار و هر انچه در این مدت در آن میروید رامیچرند.
چندگاو به مدت۶ هفته علفهای۶ چمنزار و هر انچه در این مدت درآن میروید رامیچرند؟  

   ما یک اتاق داریم که دم درش سه تا کلیده توی این اتاق سه تا چراقه که کلیداش هم اون کلید های دم دره شمام بیرون اتاقین ویچ راهی هم برای دیدن اتاق ندارید به جز در.شما بگید چطوری می فهمیم کدام کلید مال کدوم چراغه؟؟؟؟؟؟؟؟با دلیل جواب بدید.

 مقدمه

اين سخن بسيار گفته شده است كه براي پي بردن به ساختمان پركاهي با عمق و دقت ؛بايد جهان را به درستي شناخت امّا آن كس كه بتواند با چنين عمق و دقتي به ساختمان پركاهي پي برد. در هيچ يك از امور جهان نكته تاريكي نخواهديافت ، من براي شرح حال و زندگي انيشتن را نه براي رياضدانان ونه براي فيزيكدانان ،نه براي اهل فلسفه نه براي طرفداران استقلال يهود بلكه براي آن كساني كه مي خواهند چيزي از جهان پرتناقض قرن بيستم درك كنند . و اينك شرح حال زندگي او از كودكي تا پابان عمر :

آلبرت انيشين در چهاردهم مارس 1879 در شهر اولم كه شهر متوسطي از ناحيه و ورتمبرگ آلمان بود متولّد شد . امّا شهر مزبور در زندگي او اهميتي نداشته است . زيرا يك سال بعد از تولّد او خانواده وي از اولم عازم مونيخ گرديد

دو عرب با هم مسافرت میکردند یکی از آنها ۵ قرص نان و دیگری ۳ قرص نان با خود داشت. عرب سومی به آنها پیوست .شب شد و همه با هم ۸ قرص نان را خوردند.عرب سوم ۸درهم به ان دو عرب دیگر داد که بر سر تقسیم ان بین این دو اختلاف افتاد. آن که ۵ قرص نان داشت می گفت تقسیم باید به نسبت ۵ به ۳ انجام گیرد و دیگری می گفت باید به تساوی باشد.اختلافشان بالا گرفت و سرانجام از حضرت علی داوری خواستند .آن حضرت ۷ درهم را حق صاحب ۵ قرص نان و ۱درهم را حق صاحب ۳ قرص نان دانست!!!
به نظر شما داوری حضرت بر چه پایه ای بوده است؟