ریاضی

آیا می دانید چه اعدادی را می توانیم به صورت مجموع اعداد ِ طبیعی متوالی بنویسیم ؟

اگر نمی دانید این مطلب را پی گیرید تا ببینید چه اعدادی را می توانیم به صورت مجموع اعداد طبیعی متوالی بنویسیم.

از عدد 2 تا 40 شروع می کنیم و سعی خواهیم کرد برای هر کدام ، لیستی از اعداد ِ متوالی بیابیم که مجموع آن ها با عدد انتخاب شده برابر باشد.

نکته 1 : نمایش اعداد به صورت مجموع ِ اعدادِ متوالی ، یکتا نیست ؛ مثلا" 30 را به صورت های زیر می توان نمایش داد:

9+8+7+6=11+10+9=30

نکته 2 : یک بازرسی در اعداد بالا نشان می دهد : اعدادی را که به صورت توانی از 2 هستند، نمی توانیم به صورت مجموع اعداد متوالی بنویسیم . ( در پایان این قسمت ، این مطلب را اثبات می کنیم. )

نکته ی 2 حقیقت ِ جالبی است که توقع نمی رفت چنین باشد. همچنین با ساختن یک چنین لیستی از اعداد به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالی ، الگوهایی را مشاهده خواهیم کرد. یکی از این الگوهای واضح در مورد اعداد مثلثی است. n - مین عدد مثلثی ، مجموع n عدد ِ طبیعی نخست متوالی است. مثلا ً

یا این که n - مین مضرب از عدد 3 را که 3n می نامیم، همواره می توانیم به صورت مجموع ِِ n -مین عدد طبیعی و اعداد قبل و بعدش نمایش دهیم. یعنی

با کمی دقت شما نیز می توانید چنین الگو هایی را کشف کنید؛ زیرا که دیدن الگوهای اعداد و روابط بین آن ها یکی از جالب ترین بخش هاست.

اکنون ثابت می کنیم یک عدد را کِی می توانیم به صورت مجموع ِحداقلِ ِ دو عدد طبیعی و متوالی بنویسیم:

اگر a و b دو عدد طبیعی باشند که b از a بزرگتر است ، مجموع عددهای طبیعی متوالی بین a و b چه مقادیری می توانند باشند؟

با استفاده از فرمولِِِِ مجموع ِ یک سری عددی می توان این مقدار را به دست آورد ؛ که این مقدار برابر است با نصف حاصلضرب مجموع کران بالا و کران پایین در تعداد جملات.

بنابر این اگر مجموع اعداد طبیعی متوالی بین a و b را S بنامیم ، از فرمول زیر به دست می آید :

که در این حالت ، a جمله ی پایینی و b جمله ی بالایی و تعداد جملات بین a و b است. ( ممکن است این سوء تفاهم پیش آید که با استفاده از قوانین جمع ، می توانیم پرانتزهای بین اعداد در فرمول بالا را حذف کنیم. با حذف این پرانتزها اعداد -1 و +1 و ... با هم ساده می شوند و تنها تعدادی a و تعدادی b باقی می ماند. برای جلوگیری از این گونه موارد بیان می کنیم که منظور از ، عدد طبیعی ِ بعد از a است و منظور از نیز عدد طبیعی قبل از b است و ... . ممکن است در مکانی مثلا ً و با هم برابر شوند ( m و n عدد طبیعی هستند )، که در این حالت نیز تنها یکی از آن ها را وارد می کنیم. پس در حالت کلی منظور از مجموع بالا ، مجموع اعداد طبیعی بین a و b با احتساب خود a و b است و این اعداد بدون تکرار در نظر گرفته می شوند. ) .

پس

دو طرف تساوی را دو برابر می کنیم :

را x می نامیم و را y . چون a و b اعداد طبیعی هستند و ، x و y نیز اعداد طبیعی اند. از آنجا که عددی فرد است ، بنابراین یکی از x و y فرد است و دیگری زوج . ( دقت داریم که فقط مجموع ِ یک عدد فرد و یک عدد زوج ، عددی فرد است. )

اکنون تساوی 2S = xy و وضعیت های x و y ، دو حالت زیر را پیش روی ما قرار می دهد :

حالت اول : S توانی از 2 است :

فرض می کنیم . بنا بر این یا . تنها حالتی ، که یک توان از 2 را می توانیم به صورت حاصلضرب یک عدد فرد در یک عدد زوج بنویسیم ، حالتی است که عدد فرد ، عدد 1 باشد. اگر x=1 باشد ، یعنی :

، در این صورت a , b نمی توانند اعداد طبیعی باشند ، زیرا مجموع هیچ دو عدد طبیعی ، برابر با 1 نیست.

و اگر y برابر با 1 باشد ، یعنی :

، پس باید یا به عبارتی a و b با هم برابر باشند که این نیز اتفاق نمی افتد.

بنابراین در این حالت نمی توانیم S را به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالی بنویسیم.

حالت دوم : S توانی از 2 نیست :

فرض می کنیم که m عدد فردی بزرگتر از 1 است. در این صورت .

در این حالت می توانیم اعداد طبیعی a و b را طوری بیابیم که باشد و .

دقت داریم که دو عدد و m برابر نیستند زیرا m فرد است و زوج . بنابراین یکی از آنها بزرگتر از دیگری است. فرض کنیم x آن عدد ِ بزرگتر و y آن عدد ِ کوچکتر باشد. با این انتخاب جواب ِ a و b مشخص می شود زیرا از رابطه ی  مقدار b مشخص می شود   و از رابطه ی   مقدار a مشخص می شود  . همچنین   و بنابر این  .

بنابراین ، آن عدد طبیعی را می توانیم با مجموع ِ اعداد ِ طبیعی متوالی نمایش دهیم که توانی از 2 نباشد.

با این مطلب به پایان فصل اول در شگفتی ها و زیبایی های ریاضیات می رسیم

«ديگر حال و حوصله خواندن را ندارم» يا «اينقدر از خواندن اين كتاب خسته شده ام» و يا«هر چه بيشتر مي خوانم كمتر ياد مي گيرم» يا « ده بار خواندم ولي ياد نگرفتم»! اين ها جملاتيست آشنا كه اكثر دانش آموزان با خود يا با اطرافيانشان مطرح كرده‌اند.

 واقعيت اين است كه اين گروه از فراگيران، روش صحيح مطالعه را نمي‌دانند. يادگيري و مطالعه رابطه تنگاتنگ و مستقيمي با يكديگر دارند، تا جايي كه مي‌توان اين دو را لازم و ملزوم يكديگر دانست. براي اينكه بازده يادگيري را افزايش دهيم بايد قبل از هر چيز مطالعه‌اي فعال و پويا داشت.

انتخاب هدف کوچک و قابل دسترسی و قرار داد با خود که در مدت کوتاه (مثلا يک ساعت ) بايد به اين

هدف برسم. اين هدف می تواند به صورت  من می خواهم پس از يک ساعت مطالعه هر معادله ی درجه

دومی را حل کنم  تعريف شود. تعريف چنين اهداف کوتاه مدت به دانش آموز نشان می دهد که يک ساعت

هم برای چنين هدفی وقت زيادی بوده است و حتی دانش آموز برای وقت باقی مانده اش می تواند هدف

جديدی تعريف کند. به اين ترتيب مطالب را يکی يکی ياد گرفته و جلو می رود. نا موفق بودن خيلی از دانش

آموزان در حل برخی مسايل بيشتر به علت اشتباه آنها در محاسبات ابتدايی است و تا وقتی که در محاسبات

اشتباه می کند نمی تواند به مقصود مسئله برسد. دانش آموز پس از مطالعه ابتدا بايد خود را امتحان کند که

 آيا به هدف مورد نظر خود رسيده است يا نه؟ و اين کار را می تواند روی باطله با حل مثال موجود در کتاب

درسی انجام دهد (زيرا حل آن در کتاب موجود است). اگر دانش آموز برای مطالعه مطلبی که در کتاب 5

صفحه برای آن در نظر گرفته شده است, 10 صفحه باطله توليد نکند انگار مطالعه نکرده است.

برای تثبيت مطلب در ذهن لازم است دانش آموز تمرينات کتاب درسی را به ترتيب حل کند و به زبان عاميانه به آنها گير

 دهد و تا وقتی که نتوانسته آنها را حل کند دست بر ندارد. به اين ترتيب دانش آموز کم کم به ياد گرفتن

(ضربه فنی کردن تمرينات کتاب ) عادت می کند و پس از مدت 20 روز مطالعه به اين صورت از يادگيری خود

 لذت می برد, تا حدی که ديگر دست بردار نخواهد بود.

از مزاياي شيوه صحيح مطالعه مي‌توان موارد زير را نام برد:

زمان مطالعه كاهش مي‌يابد.

ميزان يادگيري افزايش مي‌يابد.

مطالب مدت زمان بيشتري در حافظه خواهند ماند.

سريعتر و آسانتر مطالب به خاطر سپرده مي‌شود.

در هنگام مطالعه همواره بايد چند نكته را مد نظر قرار داد.!

حداكثر زماني كه افراد مي‌توانند فكر خود را بر روي موضوعي متمركز كنند بيش از 30 دقيقه نيست، يعني بايد سعي شود حدود 30 دقيقه بر روي يك مطلب تمركز نمود و يا مطالعه داشت حدود 10 الي 15 دقيقه استراحت نمودسپس مجددا با همين روال شروع به مطالعه كرد.

پيش از مطالعه از صزف غذاهاي چرب و سنگين خودداري شود و در حدود 1 ساعت بعد از صرف غذا مطالعه نماييد چون پس از مصرف غذاي سنگين بيشتر جريان خون متوجه دستگاه گوارش مي‌شود تا به هضم و جذب غذا كمك كند لذا خونرساني به مغز كاهش مي يابد و از قدرت تفكر و تمركز كاسته مي‌شود. از مصرف الكل و دارو هم خودداري فرماييد. همچنين غذاهاي آردي مانند نان و همينطور نوشابه‌هاي گازدار از قدرت ادراك و تمركز مي‌كاهند.

يادداشت بردازي يكي از بهترين راهكارها براي يادگيري مي‌باشد. اگر يادداشت برداريد خود را از حفظ و به ياد سپاري بسياري مطالب راحت مي‌كنيد.

از ديگر مواردي كه كمك شايان توجهي به يادگيري مي‌كند شرايط مطالعه مي‌باشد. بكار گيري شرايط مطالعه به معني بهره‌وري بيشتر از مطالعه مي‌باشد. شرايط مطالعه مواردي هستند كه با دانستن ، بكارگيري آنها مي‌توان مطالعه‌اي مفيدتر با بازدهي بالاتر داشت و در واقع اين شرايط به شما مي‌آموزند كه قبل از شروع مطالعه چه اصولي را به كار گيريد؛ در حين مطالعه چه مواردي را فراهم سازيد و چگونه به اهداف مطالعاتي خود برسيد و با دانستن آنها مي توانيد با آگاهي بيشتري درس خواندن را شروع كنيدمطالعه‌اي بهتر داشته باشيد:

شروع مناسب: براي موفقيت در مطالعه بايد درست شروع كنيم.

برنامه ريزي: يكي از عوامل موفقيت، داشتن برنامه‌اي مناسب است.

نظم و ترتيب: اساس هر سازماني به نظم آن بستگي دارد.

حفظ آرامش: آرامش ضمير ناخودآگاه را پويا مي‌سازد.

عدم اتلاف وقت.

سلامتي و تندرستي: هميشه گفتند كه عقل سالم در بدن سالم است.

خوراك و تغذيه مناسب: تغذيه كافي و مناسب به امر يادگيري كمك قابل توجهي مي‌كند.

عدم مصرف مشروبات الكلي و مواد مخدر: استفاده از اين مواد ذهن  و قدرت حافظه را كاهش مي‌دهد و امر يادگيري را مختل مي‌كند.

ورزش و فعاليت بدني: ورزش و فعاليت مداوم ذهن را فعال مي‌سازد و كمك بزرگي به يادگيري مطالب است.

درك مطلب: آنچه در حافظه بلند مدت مي‌ماند.همان مطالب يادگرفته شده است.