ریاضی

  مجموعه ی اعداد حقیقی

عدد حقیقی :

حقیقی منسوب به حقیقت است و به معنی واقعی، اصلی و مقابل کلمه ی مجازی می باشد .

در ریاضی هر یک از عددهای گویا و عددهای اصم را یک عدد حقیقی می نامند.

مجموعه ی عدد های حقیقی:

مجموعه ی تمام عددهای گویا و عددهای اصم را مجموعه اعداد حقیقی می نامیم و آنرا با حرف نمایش    می دهیم.

عدد اصم (گنگ): 

اصم به معنی کر و ناشنوا است و گنگ به کسی که کلمات را نتواند ادا کند. در ریاضی اگر عدد طبیعی n مجذور کامل نباشد ، آن گاه عددی اصم (گنگ) است.

مانند می دانیم امکان نمایش این اعداد به صورت کسر وجود ندارد ،بنابراین «هر عدد حقیقی که گویا نباشد ، عدد اصم (گنگ) نامیده می شود.»

محور عددهای حقیقی :

برای نشان دادن یکسری عدد حقیقی روی محور از نمودار استوانه ای شکل استفاده می کنیم . قسمت های هاشور خورده و رنگ شده این نمودار اعضای مجموعه  را نشان می دهد.

مثال: نمایش هر یک از مجموعه های زیر را روی یک محور مشخص کنید.

حل:                   

تمامی عدد های حقیقی بین 2- و 3+ عضو این مجموعه هستند.

دایره ی تو پر و علامت نشان می دهند که 2- عضو مجموعه ی A می باشد و

دایره ی توخالی و علامت > نشان می دهند که 3 عضو مجموعه ی A نمی باشد.

نکته: مجموعه ی A را به صورت (3 و 2-] نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی نیم باز 2- و 3 می گویند.

حل:            

تمامی عدد های حقیقی بین 0و 4 عضو این مجموعه هستند.

نکته:مجموعه ی B را به صورت (4 و 0)نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی باز 0 و 4 می گویند.

حل:                  

نکته:مجموعه ی C را به صورت[ 3 و 1-] نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی بسته 1- و 3 می گویند.

حل:                  

نکته:مجموعه ی D را به صورت (1 و ∞-) نیز نشان می دهند که این مجموعه بازه ای را نشان می دهد که از سمت راست محدود و از سمت چپ نامحدود است. (∞- را بخوانید: منفی بی نهایت)

نمایش اعداد اَصَم (گنگ):

فرض کنیم یک عدد اصم (گنگ) است ؛ جای تقریبی این عدد را می توان به کمک محاسبه ی جذر تقریبی روی محور مشخص کرد.

مثال: عدد بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد ؟

حل:مقدار تقریبی جذر 5 از عدد 2 بیشتر و از عدد 3 کمتر است ؛ یعنی : اختلاف عدد ی که بین 2 و 3 باشد با عدد 3 بین دو عدد صحیح متوالی صفر و یک قرار دارد . یعنی :   

برای مشخص کردن جای دقیق تری از روی محور به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه مناسبی که طول آن باشد را رسم می کنیم .

ب: دهانه ی پر گار را به اندازه ی وتر این مثلث باز می کنیم و از مبدأ علامتی روی محور در جهت مثبت محور می زنیم.

مثال: در شکل مقابل تعداد ی مثلث قائم الزاویه رسم شده است که در هر کدام یک ضلع زاویه قائمه به طول 1 واحد است.طول پاره خط های OD , OC , OB , OA را حساب کنید.

حل:

نکته:چنانچه مثلث های قائم الزاویه را یکی بعد از دیگری مانند مثال قبل رسم کنیم، شکل زیبای حلزونی بوجود می آید که به کمک آن عددهای , , , و.... را می توان مشخص کرد.

می توانیم روی محور اعداد، نقطه ی متناظر با هر یک از عددهای , , , و ........ را مشخص کنیم. برای این کار به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع 1^cm و وتر OA را روی محور اعداد در نظر می گیریم . می دانیم اندازه ی OA با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید . حال به مرکز O و شعاع OA دهانه ی پرگار را باز کرده و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در نقطه ی قطع کند . نقطه ی متناظر با عدد بدست می آید.

ب: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع  و وتر OB را روی محور اعداد در نظر می گیریم .می دانیم اندازه ی OB با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید . حال به مرکز O  و شعاع OB دهانه ی پرگار را باز کرده و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در نقطه ی قطع کند.

ج: به همین ترتیب اعداد , ,  و....را نیز می توان روی محور اعداد حقیقی نشان داد . کافی است مثلث های قائم الزاویه را به همین ترتیب روی محور ادامه دهیم. شکل زیر چگونگی کار را نشان می دهد.

از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش.

 اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.

ادامه مطلب را ببينيد

در مورد روش هاي ضرب نمودن چند مطلب در روزهاي گذشته برايتان نوشته بودم و اين مطلب با توضيحات بيشتر برايتان در وبلاگ قرار داده ام اميدوارم لذت ببريد.

ادامه مطلب را ببينيد

مطالب زیبا در مورد ریاضیات

<sup>وقتی صحبت از نوابغ اول جهان به میان می آید، ناخودآگاه نام "آلبرت انیشتین" به اذهان خطور می کند. اما بد نیست بدانید این فیزیکدان مشهور آلمانی جزو این لیست 10 نفره نیست زیرا ضریب هوشی یا همان IQ او در حدود 160 تخمین زده شده است. در اینجا به معرفی 10 نابغه اول جهان غرب می پردازیم که از ضریب هوشی بالاتری برخوردار بوده اند:

1- یوهان ولفگانگ فون گوته - آی کیو 210




"یوهان گوته" شاعر آلمانی با ضریب هوشی 210 ، نمایشنامه نویس، داستان نویس، دانشمند، سیاستمدار، کارگردان تئاتر، منتقد و هنرمندی آماتور بود که بزرگترین شخصیت ادبی عصر مدرن به شمار می رفت. در فرهنگ ادبی کشورهای آلمانی زبان این شخصیت از چنان جایگاهی برخوردار است که از اواخر قرن هجدهم آثار وی به عنوان آثار کلاسیک در نظر گرفته شده اند



2- لئوناردو داوینچی - آی کیو 205




"داوینچی" نقاش، مجسمه ساز، معمار، طراح و مهندس ایتالیایی دومین نابغه برتر جهان از ضریب هوشی 205 برخوردار بود. تابلوهای نقاشی "شام آخر" و "مونالیزا" این هنرمند از برجسته ترین آثار هنری دوره رنسانس محسوب می شد. یادداشت های به جا مانده از داوینچی حاکی است که وی از خلاقیت های بالای فنی برخوردار بوده به طوری که بسیار جلوتر از زمان خود به سر می برده است.



3- امانوئل سویدن برگ - آی کیو 205




"سویدن برگ"، مبتکر مسیحی و فیلسوف و دانشمند الهیات سوئدی بود که با برخورداری از ضریب هوشی 205 دست نوشته حجیمی از کلام الهی از وی به یادگار مانده است. اندکی پس از مرگ او، هوادارانش بلافاصله جمعیت پیرو فلسفه سویدن برگ را با هدف مطالعه در زمینه افکار وی راه اندازی کردند.



4- گوتفرید ویلهلم وون لایبنیتز - آی کیو 205





"وون لایبنیتز" چهارمین نابغه برتر جهان از ضریب هوشی 205 برخوردار بود. این فیلسوف برجسته آلمانی در رشته حقوق و فلسفه تحصیل کرد. این فیلسوف شهیر در زمان خود نقش قابل توجهی در مسائل سیاسی و دیپلماتیک اروپا ایفا کرد. وی در مقوله فلسفه و ریاضیات از جایگاه برجسته ای برخوردار بود.


5- جان استوارت میل - آی کیو 200




"استوارت میل"، فیلسوف، اقتصاددان و مبلغ مکتب سودمندگرایی انگلیسی بود که از ضریب هوشی 200 بهره برده بود. وی همچنین روزنامه نگاری برجسته در دوره اصلاحات قرن نوزدهم به شمار می رفت. وی از اصل سادگی در زندگی خود تبعیت می کرد.


6- بلز پاسکال - آی کیو 195






"بلز پاسکال"، ریاضیدان، فیزیکدان، فیلسوف مذهبی و استاد نثر فرانسوی بود. ضریب هوشی او 195 بود و اساس تشکیل تئوری مدرن احتمالات را بنا نهاد. وی همچنین زمینه گسترش تعلیماتی مذهبی را بنا نهاد که ادراک خدا را از طریق دل به جای منطق آموزش می داد.


7- لودویگ جوزف یوهان ویتگنشتاین - آی کیو 190




"لودویگ ویتگنشتاین" فیلسوف انگلیسی زاده شده در اتریش بود که ضمن برخورداری از ضریب هوش 190 به عنوان بزرگترین فیلسوف قرن بیستم به شمار می رفت. شخصیت این نابغه شهیر از جذابیت بسیاری در بین هنرمندان، نمایشنامه نویسان، شاعران، داستان نویسان، موسیقی دانان و حتی فیلم سازان برخوردار بود.


8- بابی فیشر - آی کیو 187




"بابی فیشر" که به روبرت جیمز فیشر معروف است، شطرنج باز ماهر آمریکایی بود که از ضریب هوشی 187 بهره برده بود. این نابغه مشهور در سال 1958 عنوان جوان ترین شطرنج باز تاریخ را به خود اختصاص داد. بازی خیره کننده وی در مسابقات قهرمانی جهانی 1972 افکار عمومی آمریکا را به بازی شطرنج هدایت کرد. فیشر بازی شطرنج را از سن 6 سالگی آموخت و در سن 16 سالگی با هدف وقف کامل خود به این بازی، ترک تحصیل کرد.


9- گالیلئو گالیله - آی کیو 185


"گالیله" فیلسوف علوم طبیعی، منجم و ریاضیدان ایتالیایی بود که به پیشبرد علوم حرکت، ستاره شناسی و قدرت مواد کمک شایانی کرد. وی از بهره هوشی 185 برخوردار بود و کشفیاتش از طریق تلسکوپ علم نجوم را متحول ساخت.


10- مادام دی استل - آی کیو 180



"نه لوئیز جرمانی نکر بارونس دی استل هولستین" معروف به مادام دی استل دانشمند، مبلغ سیاسی و سخنور فرانسوی - سوئیسی بود که از ضریب هوشی 180 سهم برده بود. وی به عنوان واسطه ای میان فرهنگ نو استعماری اروپا به مکتب رومانتیک گرایی به شمار می رفت. نوشته های او در زمینه های داستانی، نوازندگی، مقالات اخلاقی و سیاسی، انتقادات ادبی، مطالب تاریخی، خاطرات شخصی و شعر از شهرت بالایی برخوردار است.</sup>

- مجموعه را تعريف كنيد

2- مجموعه اعداد متناهي و نامتناهي را تعريف كنيد

 ومثال بزنيد .

3-مجموعه تهي چيست و چگونه نمايش مي دهند

و مثال بيان كنيد .

4-مجموعه اعداد طبیعی و  اعداد صحیح رابنويسيد

 5- مجموعه ی اعداد طبيعي بین 25 و10 را بنویسید وآن را

 D بنامید.

6- مجموعه اعداد اول را نام ببريد .

-7 جای خالی را با عدد یا کلمه ی مناسب کامل کنید.

الف ) مجموعه ای که عضو ندارد ٬ مجموعه ی ...........

نامیده می شود.

  ب ) کوچکترین عضو مجموعه ی اعداد طبیعی ٬

عدد ............ است.

 پ ) مجموعه ی اعداد زوج مجموعه ................. است.

 ت ) مجموعه ای که 5 عضو دارد مجموعه  ............است

8- به زبان ریاضی بنویسید. 

الف ) 7 ٬ یک عضو مجموعه ی D است.

  ب ) صفر ٬ یک عضو از مجموعه ی اعداد طبیعی نیست.

9- عضوهای  هاي زير رابا اعضايش بنويسيد و نام گذاري كنيد

     مجموعه اعداد طبیعی مضرب 4

مجموعه ی اعداد فرد کوچکتر از 10

10- الف ) مجموعه ی حروف کلمه ی « ساسان » را

 بنویسید و ان را A بنامید.

      ب ) مجموعه ی A دارای چند عضو است

11- با توجه به شروط زیر ٬ مجموعه های A وB و C را

مشخص کنید.

 الف ) عدد 2 ٬ عضو هر سه مجموعه است.

  ب ) عدد ( 3- ) ٬ عضو دو مجموعه ی A وB است ولی

 عضو مجموعه ی C نیست.

  پ ) اعداد 5 و 1- عضو مجموعه های A و C هستند ولی

عضو مجموعه ی B نیست.

  ت ) عدد 11 فقط عضو مجموعه ی B است و حاصل جمع

 عضوهای مجموعه ی B ٬ برابر 16 است. ( دارای 4 عضو )

  ث ) عدد 3 فقط عضو مجموعه ی C است و حاصل جمع

عضوهای مجموعه ی C برابر 17 است. ( دارای 5 عضو )

   ج ) حاصل جمع عضوهای مجموعه ی A برابر 13 است.

 ( دارای 5 عضو )

خواب ریاضی

باز هم خواب ریاضی دیده ام                       خواب خطهای موازی دیده ام

خواب دیدم خوانده ام ایگرگ زگوند               خنجر دیفرانسیل هم گشته کند

از سر هر جایگشتی می پرم                      دامن هر اتحادی می درم

دست و پای بازه ها را بسته ام                    از کمند منحنی ها رسته ام

شیب هر خط را به تندی می دوم                  گوش هر ایگرگ وشی را می جوم

گاه در زندان قدر مطلقم                              گه اسیر زلف حد و مشتقم

گاه خطها را موازی میکنم                            با توانها نقطه بازی میکنم

لشکر تمرین دارم بیشمار                             تیغی از فرمول دارم در کنار

ناگهان دیدم توابع مرده اند                           پاره خطها، نقطه ها ، پژمرده اند

در ریاضی بحث انتگرال نیست                      صحبت از تبدیل و رادیکال نیست

کاروان جذرها کوچیده است                         استخوان کسرها پوسیده است

از لگ و بسط نپر اثار نیست                         ردپایی از خط و بردار نیست

هیچکس را زین مصیبت غم نبود                    صفر صفرم  هم دگر مبهم نبود

آری آری خواب افسون میکند                        عقده را از سینه بیرون می کند

مردم از این y ,x  داد ،داد                             روزهای بی ریاضی یاد باد

شعر از آقای اکرامی - کنفرانس ریاضی مشهد 79

دیباچه :

« هانری پوانکاره » در مورد زیبایی ریاضیات این گونه می گوید :

« دانشمند ، طبیعت را به خاطر فایده اش مطالعه نمی کند، آن را برای این مطالعه می کند که از آن لذت می برد و چون طبیعت زیباست از آن لذت می برد . اگر طبیعت زیبا نبود، ارزش ِ شناختن نداشت و اگر طبیعت ارزش شناختن نداشت، زندگی هم ارزش زیستن نداشت. البته، من در اینجا از آن گونه زیبایی که حواس را متأثر می کند، یعنی از زیبایی اوصاف و ظواهر، سخن نمی گویم؛ نه به این جهت که این زیبایی ها را دست کم بگیرم، نه چنین نیست، اما این زیبایی ربطی به علوم ندارد، منظورم زیبایی ژرف تری است که از نظم هماهنگ اجزا بوجود می آید و تنها هوش ِ ناب قادر به درک آن است. »

« برتراند راسل » نیز زیبایی ریاضیات را این گونه به رخ می کشد:

« ریاضیات هیچ حقیقتی ندارد اما بالاترین زیبایی را داراست. یک زیبایی سرد و جدی، درست مانند یک تندیس، به طور شگفت انگیزی محض، و توانا در نهایت جدیت، به طوری که تنها بزرگترین ِ هنرمندان می توانند این گونه باشند. »

دانش آموزان اغلب فکر می کنند که ریاضیات یک درس آموزشی خشک است. ما برخود می دانیم که زیبایی های آن را برای شما به تصویر بکشیم.

هدف ما در این قسمت نیز همین است و سعی خواهیم کرد مواردی را که می توانند زیبایی ریاضیات را زنده سازند، در دسترس شما قرار دهیم.

از آن جا که مطالب این قسمت سایت برای تمام دانش آموزان و دانشجویان ارائه می شود، شرح و توضح ها ، به اندازه ی کافی ساده و قابل فهم ارائه خواهند شد و در برخی موارد بیان توضیحات و تحقیقات بیشتر به شما واگذار شده است