ریاضی

از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش. مثلا" اگر قطعه زمینی دارای مساحتی برابر با  1000  متر مربع باشد،بسته به اینکه چه شکلی داشته باشد، دارای محیط مشخصی خواهد بود : مثلا" اگر به شکل دایره باشد محیطش  112  متر است و اگر به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع باشد، محیطش  144  متر خواهد شد. سرزمین ایران دارای مساحتی تقریبا" برابر    1, 648, 000کیلومتر مربع است. اگر ایران به شکل یک دایره بود پیرامونی برابر  4551  کیلومتر میداشت. اگر این مسافت را با خودرویی که سرعتش صد کیلومتر در ساعت است طی کنیم، تقریبا"  46  ساعت طول میکشد تا این مسافت را بپیماییم. اگر ایران به شکل یک مربع بود، پیرامونش  5135  کیلومتر میشد که با همان خودرو ظرف تقریبن  51  ساعت میتوانستیم یک دور کامل بدور آن بزنیم.

در حدود صد سال پیش یک ریاضیدان سوئدی بنام کخ(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924 ) وقتیکه مشغول مطالعه اشکال هندسی بود و مساحت ها و محیط های آنها را بررسی میکرد، متوجه یک خاصیت غیر عادی و تا حدودی پارادوکسیکال در برخی از آنها شد. او کشف کرد که میتوان شکلهایی ترسیم نمود که اندازه مساحتشان معین، اما اندازه محیطشان بینهایت باشد و جالب اینجاست که الزامی هم ندارد که این چنین شکلهایی بسیار بسیار بزرگ باشند تا محیطشان بینهایت شود، برعکس میتوانند به بزرگی یک کف دست باشند و در عین حال محیطشان بینهایت باشد. برای اینکه این موضوع بهتر درک شود به مثال زیر توجه فرمایید :

 فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع دارید که هر ضلع آن  81  سانتیمتر است. هر ضلع را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 27 سانتیمتر )و قسمت میانی را بردارید و بجای آن یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن  27  سانتیمتر باشد( بدون قاعده، مطابق شکل زیر )قرار دهید تا ستاره شش پر درست شود. محیط این ستاره متشکل از  12  قطعه خط است هر یک به طول  27  سانتیمتر. هر یک از این قطعه خط ها را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 9 سانتیمتر )و مثل دفعه قبل، قسمت میانی آنرا بردارید و بجایش یک مثلث متساوی الاضلاع با ابعاد  9  سانتیمتر( باز بدون قاعده )قرار دهید تا ستاره  18  پر درست شود.

 اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.

با استفاده از فرمولهای تصاعد هندسی میتوان ثابت کرد که مساحت چنین شکلهایی بسوی مقدار معینی میل میکند در حالیکه پیرامونشان بسوی بینهایت میرود.

اگر به شکلهای فوق با دقت نگاه کنید، خواهید دید که همه آنها در یک مربع معین محاط شده اند.  صرفنظر از اینکه چند مرتبه اضلاع مثلث ها را کوچک وکوچکتر کنید، اشکال جدید حاصل، هر گز از مربع محیطی خود خارج نمیشوند و بهمین دلیل هم مساحت آنها همواره کمتر از مساحت مربع است ولی جالب اینجاست که در همین مربع محدود، محیط این دانه های برفی با افزایش تعداد مثلثهای بدون قاعده افزایش یافته و بسوی بینهایت میل میکند.

اگر تکه ای کوچک از یک منحنی برفی را در زیر ذره بین بزرگ کنیم، شکلی دقیقا" شبیه دانه بزرگتر آن بدست میاید. اشکالی که چنین خاصیتی را دارا هستند، اشکال شکسته( Fractals )نامیده میشوند و ان بخش از هندسه که در باره این اشکال گفتگو میکند، هندسه اشکال شکسته(Fractal Geometry )نام دارد.

در آزمایش فوق اگر بجای مثلث متساوی الاضلاع، مثلن با یک مربع شروع میکردید، و در وسط هر ضلع آن، مربع کوچکتری( با اضلاع مثلا" 4/1 )میگذاشتید و اینکار را بینهایت مرتبه تکرار میکردید باز شکلی دانه برفی منتها با مساحت دیگری بدست میامد ولی محیطش بهر حال بسوی بینهایت میرفت.