ریاضی

تقارن : (symmetry)

تقارن به معنی قرین شدن با یکدیگر، با هم یار و دوست گردیدن می باشد و در اصطلاح هندسه وجود تقارن نشان دهنده ی وجود قرینه شدن نسبت به یک نقطه یا نسبت به یک خط (محور) می باشد.  

 تقارن محوری: (axial symmetry)

چنانچه قرینه نسبت به یک خط وجود داشته باشد، تقارن را تقارن محوری نامند و خطی که شکل را به دو قسمت قرینه تقسیم می کند، «محور تقارن»  آن شکل نامیده        می شود.

تقارن محوری

تقارن مرکزی: (central symmetry)

چنانچه قرینه نسبت به یک نقطه وجود داشته باشد، تقارن را تقارن مرکزی نامند و آن نقطه که قرینه ی هر نقطه از شکل نسبت به آن، نقطه ای ازخود شکل است را «مرکز تقارن» می گوییم.  

تقارن مرکزی 

کاربرد تقارن:

1- تقارن نه فقط به عنوان یک مفهوم جالب و شگفت انگیز هندسی مورد توجه است ، بلکه وجود تقارن در ساختمان ملکولهای اجسام و بلورهای آن باعث می شود که دانشمندان بتوانند خواص این اجسام را به طور دقیق بررسی می کنند، اگر با کمی دقت به اطراف خود، به گیاهان، اجسام و موجودات نگاه کنیم متوجه خواهیم شد که شکل بیشتر آن ها متقارن است و همین متقارن بودن زیبایی خاصی به آن ها بخشیده است. وجود تقارن در ساختمان بدن انسان نیز یکی از عامل های اساسی زیبایی است.  

2- هر قطر دایره یک محور تقارن برای دایره است. بنابراین دایره متقارن ترین شکل هاست. به همین دلیل افلاطون فیلسوف بزرگ یونانی دایره را زیباترین شکل مسطحه می نامد اشکالی که قابل قسمت به بخش های برابر قابل انطباق نباشند، نامتقارن نامیده می شوند. 

مساحت: (area)

مساحت به معنی اندازه گرفتن زمین، پیمایش زمین، سطح محوطه و زمینی و سطح به معنی رویه، بالای هر چیز که هموار و پهن باشد؛ در اصطلاح هندسه اندازه ی سطح هر شکل هندسی را مساحت می نامیم.  

مساحت شکلهای هندسی:

1) مساحت مربع

3) مساحت متوازی الاضلاع

4) مثلث

6) ذوزنقه

7) دایره

مساحت دایره

اگز یک دایره را به وسیله ی قطرهای آن به 6 قسمت مساوی تقسیم کنیم و با توجه به شکل زیر آنرا ببریم و کنار هم قرار دهیم، مساحت شکل حاصل با مساحت دایره برابر است.

اگر دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم کنیم و قسمتها را کنار هم قرار دهیم شکل زیر بدست می آید.  

اگر دایره ای را به 24 قسمت مساوی تقسیم کنیم و قسمتها را کنار هم قرار دهیم شکل زیر بدست می آید.  

 چنانکه مشاهده می کنید هر قدر تعداد قسمتها زیاد می شود شکل حاصل از کنار هم قرار دادن این قسمتها به یک مستطیل نزدیکتر می شود که مساحت آن با مساحت دایره برابر است. طول این مستطیل با نصف محیط دایره و عرض  آن با شعاع دایره برابر است. پس،

شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره

اندازه شعاع را باr  ، عدد 14/3 را با p و مساحت دایره را با A نشان دهیم.

بنابراین، مساحت دایره برابر است با حاصلضرب عدد p در مجذور شعاع

حجم : (volume)

حجم به معنی برآمدگی  و ستبری و جسامت چیزی است و در اصطلاح هندسه گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقدار از فضا که جسم آنرا اشغال می کند ، می باشد.

 محاسبه ی حجم اجسام :

حجم مکعبی به ضلع یک سانتیمتر یک سانتیمتر مکعب است.

دستور محاسبه ی حجم :

حجم هر یک از اجسام هندسی برابر است با: حاصلضرب مساحت قاعده آن در ارتفاع آن.

مثال Åحجم شکل مقابل را حساب کنید.

حل :                                                                 مساحت مربع – مساحت مستطیل = مساحت قاعده

                                                                           5 = (1 × 1) – (3 × 2) =

(cm^۳)  (سانتیمتر مکعب)   50=  10×5   =  ارتفاع  × مساحت قاعده  = حجم

منشور: (prism)

 منشور به معنی پراکنده، نشر شده، زنده شده، مبعوث است.

در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه ی منشور        (سطح جانبی منشور) از مستطیل ها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.

1- حجم مکعبی به ضلع a  برابر است با a³ .

2- مساحت جانبی مکعبی به ضلع a  برابر است با 4a²

3-  مساحت کل مکعبی به ضلع a  برابر است با  6a²

4- اگر ضلع مکعبی را m  برابر کنیم حجم آن ³ m برابر و مساحت جانبی و مساحت کل آن ² m  برابر   می شود.

مثالÅ حجم مکعبی به ضلع a  برابرa³ است . اگر ضلع مکعب را 4  برابر کنیم حجم و مساحت جانبی آن چند برابر می شوند؟

 حل:

5 – حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع

6- مساحت جانبی منشور برابر است با محیط قاعده در ارتفاع

7- مساحت کل منشور برابر است با مساحت جانبی به اضافه ی مساحت دو قاعده

مثال Å قاعده ی یک منشور سه پهلو مثلث قائم الزاویه است. که ضلعهای آن 3 و 4 و 5 سانتیمتر است.

اگر ارتفاع منشور  10cm باشد ، حجم ، مساحت جانبی و مساحت کل منشور را حساب کنید؟

 حل:

دستگاه مختصات

دو محور عمود بر هم که در یک صفحه قرار دارند ، یک دستگاه مختصات به وجود می آورند.

محور افقی را محور طول، محور عمودی را محور عرض و محل برخورد دو محور را مبدأ مختصات می نامند.

صفحه ی حاصل از دو محور مختصات را صفحه ی مختصات می گوییم.

از آن جا که دو محور مختصات بر هم عمود هستند آنرا دستگاه مختصات قائم یا دکارتی ( منسوب به دکارت )  می نامند.

انتقال: (translation )

انتقال به معنی جابه جا شدن، از جایی به جای دیگر رفتن، نقل کردن، کوچیدن، کوچ کردن و مردن و در گذشتن می باشد.

در ریاضی انتقال یعنی تغییر مکان، اندازه و جهت مشخص. برداری که شکل را در مسیر مشخص انتقال می دهد، بردار انتقال می نامند.

1 -  هر برداری که موازی محور طول باشد ، عرض آن صفر است .

2 – هر برداری که موازی محور عرض باشد ، طول آن صفر است .

3 – قرینه نقطه ی  نسبت به محور طول نقطه ی است .

4 - قرینه نقطه ی  نسبت به محور عرض نقطه ی است .

5 -قرینه نقطه ی نسبت به مبدأ مختصات  نقطه ی است .

6 - قرینه نقطه ینسبت به نیمساز ناحیه ی اول و سوم  نقطه یاست .

7 - قرینه نقطه ی نسبت به نیمساز ناحیه ی دوم و چهارم  نقطه ی است . 

.:: جذر ::.

جذر (root):

جذر به معنی ریشه ، بن و پایه است. در ریاضیات جذر گرفتن عکس عمل به توان رساندن می باشد.

عددهایی مانند 49 , 16 , 4 , ... را که جذر دقیق دارند ، مجذور یا مربع کامل می نامند.

مسئله های مربوط به آمار:

نمرات مهدی در چند درس به صورت زیر است.میانگین آن ها را حساب کنید.

علوم:5/18     زبان:25/19     ریاضی:75/17           عربی:25/16               تاریخ:

20

3- میانگین نمرات دانش آموزی در 3 درس 5/17 شده است.اگر نمره دو درس او 5/18 و 19 شده باشد.نمره درس سوم را بدست آورید؟

دو کارگر داریم که نفر اول ٪ ۲۵ ورزیده تر از دومی است . اگر پس از ۱۰ روز کار نفر اولی به مرخصی برود دومی بقیه کار را در ۵/۱۱۲روز انجام می دهد. اگر نفر اول به مرخصی نرود و کل کار را دو نفری انجام دهند . بقیه کار چند روز زودتر انجام می شود؟

  مسائل مربوط به تخفیف و تناسب

1-برای خریدن یک کتاب 200 تومانی دو تخفیف متوالی %20 و %10 گرفتیم.حساب کنید چقدر باید بپردازیم؟

2-برای خریدن یک کتاب 2000 تومانی دو تخفیف متوالی %20 و %10 گرفتیم.حساب کنید چقدر باید بپر دازیم؟

3-قیمت کالایی با%10 سود 4400 تومان می باشد.اگر در فروش این کالا %15 ضرر کنیم به چه قیمتی باید بفروشیم؟

4-رضا و محسن کاری را با هم در 12 ساعت انجام می دهند،اگر محسن این کار را به تنهایی در 18 ساعت انجام دهد حساب کنید رضا به تنهایی این کار را در چند ساعت انجام می دهد؟

قرینه یک عدد صحیح:

برای بدست آوردن قرینه یک عدد کافیست که علامت ان را عوض کنیم.قرینه را با علامت (-) نشان می دهند.

نکته:قرینه قرینه ی یک عدد خود آن عدد می شود.

مثال:

حاصل عبارت های زیر را به دست آورید؟

=(12+)+                                                                                  =(5+)_

=(11-)-                                                                                    =((7-)-)-

=(((((6-)-)-)-)-)- 

روش حل مسئله:(جمع)

اگر در یک مسئله با کلمه های گرمتر یا سردتر عددی همراه باشد،برای مسئله یک جمع می نویسیم.مثال:

دمای هوای تهران 8+ و دمای هوای زنجان 19 درجه سردتر است.حساب کنید زنجان چه دمایی دارد؟

جواب در پاسخ سوال

چرا مرکز دایره بر روی عمود منصف یک وتر رسم شده است؟

جواب در ادامه مطلب

2- با رسم شکل ثابت کنید هر نقطه بر روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر آن پاره خط به یک فاصله است؟

حاصل تقسیم های زیر را به دست آورید؟

                                                   =92 ÷ 200 /12009                                                                   =2/1 ÷  006/0                                                                                                                                                                                  

بخش پذیری بر اعداد مرکّب:

تساوی مثلث ها:

برای آن که دو مثلث مساوی شوند باید همه اضلاع با هم و همه زاویه هایشان با هم مساوی باشند ولی اگر بتوانیم ثابت کنیم یکی از حالت های رسم مثلث در دو مثلث را ثابت کنیم، می توانیم برابری آن دو مثلث را نتیجه بگیریم.

نکته مهّم:

با استفاده از عبارت های زیر می توانیم نتیجه بگیریم که دو ضلع با هم مساوی اند.

1- دو ساق مثلث متساوی السّاقین

2- ضلع های مربع

3- طول و عرض مستطیل

4- مثلث متساوی الاضلاع

5- نقطه وسط یک پاره خط، دو پاره خط مساوی به وجود می آورد.

6- ضلع مشترک

7- شعاع های دایره

نکته مهّم:

با استفاده از عبارت های زیر می توانیم نتیجه بگیریم که دو زاویه با هم برابرند.

1- نیمساز

2- دو زاویه متقابل به راس

3- زاویه های زیر دو ساق

4- زاویه های مثلث متساوی الاضلهع

5- علامت قائمه

6- دو زاویه مشترک

نکته: